Question

13．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P（-1，-2），且方向向量为（1，$\sqrt{3}$）．在以点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$）．
（1）求直线l的参数方程；
（2）若直线l与圆C相交于M、N两点，求$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$的值．

Answer 1

分析 （1）设出直线的倾斜角，求出直线的参数方程即可；
（2）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求出圆的普通方程，代入直线的参数方程求出$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$的值即可．

解答 解：（1）设直线l的倾斜角是α，
∵直线l的方向向量为（1，$\sqrt{3}$），故tanα=$\sqrt{3}$，
∵α∈[0，π），故直线l的倾斜角是$\frac{π}{3}$，
故直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcos\frac{π}{3}}\\{y=-2+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$（t为参数），
即$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$；
（2）∵ρ=2cos（θ-$\frac{π}{3}$）=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ，
故ρ²=ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ，
故圆的普通方程是x²+y²-x-$\sqrt{3}$y=0，
将直线l的参数方程代入，整理得t²-（3+2$\sqrt{3}$）t+6+2$\sqrt{3}$=0，
设方程的两根为t₁，t₂，则t₁+t₂=3+2$\sqrt{3}$，t₁t₂=6+2$\sqrt{3}$，可见t₁，t₂均为正数，
∴$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{|PM|+|PN|}{|PM|•|PN|}$=$\frac{{t}_{1}{+t}_{2}}{{t}_{1}{•t}_{2}}$=$\frac{3+2\sqrt{3}}{6+2\sqrt{3}}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了参数方程以及普通方程和极坐标方程的转化，考查参数方程的应用，是一道中档题．