Question

4．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB⊥PC，其中BP=BC=3，PC=$\sqrt{6}$
（1）点E，F分别为线段BP，DC中点，求证：EF∥平面APD
（2）设G为线段BC上的一点，且BG=2GC，求证：PG⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （1）取PA中点M，连接EM，MD，推导出EFDM为平行四边形，从而EF∥MD，由此能证明EF∥平面APD．
（2）取PC中点N，连接NB，过P点作PG'⊥BC，垂足为G'，推导出PG⊥BC，AB⊥BC，AB⊥PC，从而AB⊥平面PBC，进而平面PBC⊥平面ABCD，PG⊥BC，由此能证明PG⊥平面ABCD．

解答 证明：（1）取PA中点M，连接EM，MD，
在△PBA中，E，M分别为PB，PA的中点，∴$EM\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}BA$，
在矩形ABCD中，F为DC中点，∴$FD\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}BA$，
∴$EM\underline{\underline{∥}}FD$，∴EFDM为平行四边形，
∴EF∥MD，又EF?平面APD，MD?平面APD，
∴EF∥平面APD．
（2）取PC中点N，连接NB，由$BP=BC=3，PC=\sqrt{6}$，∴$BN=\frac{{\sqrt{30}}}{2}$，
过P点作PG'⊥BC，垂足为G'，则$PG'=\frac{BN•PC}{BC}=\sqrt{5}$，
∴$BG'=\sqrt{P{B^2}-P{{G'}^2}}=2$，由G为线段BC上一点，BG=2，
可知G，G'重合．即PG⊥BC，
∵AB⊥BC，AB⊥PC，BC∩PC=C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，
∴AB⊥平面PBC，AB?平面ABCD，∴平面PBC⊥平面ABCD，
∵平面PBC∩平面ABCD=BC，且PG⊥BC，
∴PG⊥平面ABCD．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．