Question

15．如图（1）所示，边长为2a的正方形ABCD中，点E，F分别为边AB，BC的中点，沿DE，DF将△ADE，△DCF折起，使得A，C两点重合于一点P．得到一个四棱锥P-EBFD（如图（2）所示），连按EF，BD．
（I）证明：EF⊥平面PBD；
（Ⅱ）已知$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PD}$（0≤λ≤1），当平面MEF与平面DEF所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$时，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BD，交EF于O，连结OP，推导出EF⊥BD，PO⊥EF，由此能证明EF⊥平面PBD．
（Ⅱ）连结OM，求出cos$∠MOD=\frac{\sqrt{6}}{3}$，sin∠MOD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cos∠PDO=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，sin∠PDO=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，从而sin∠OMD=sin（∠MOD+∠MDO）=$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3\sqrt{10}}$，由正弦定理得$\frac{MD}{sin∠MOD}=\frac{OD}{sin∠OMD}$，从而求出MD=$\frac{9\sqrt{5}-3\sqrt{10}}{7}a$，PM=$\frac{3\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{7}a$，由此能求出λ．

解答 证明：（Ⅰ）连结BD，交EF于O，连结OP，
∵边长为2a的正方形ABCD中，点E，F分别为边AB，BC的中点，
∴EF⊥BD，
又沿DE，DF将△ADE，△DCF折起，使得A，C两点重合于一点P，∴EP=FP，
∵OE=OF，∴PO⊥EF，
∵PO∩BD=O，∴EF⊥平面PBD．
解：（Ⅱ）连结OM，∵OM?平面PBD，EF⊥平面PBD，∴EF⊥OM，
∴∠MOD是平面MEF与平面DEF所成角，
∵平面MEF与平面DEF所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos$∠MOD=\frac{\sqrt{6}}{3}$，sin$∠MOD=\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
OD=$\frac{3}{4}BD=\frac{3}{4}\sqrt{4{a}^{2}+4{a}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}a$，
EF=$\sqrt{2}a$，PE=PF=a，∴PO=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{2a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，$PD=\sqrt{\frac{2}{4}{a}^{2}+\frac{18}{4}{a}^{2}}$=$\sqrt{5}a$，
∴cos∠PDO=$\frac{OD}{PD}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，sin∠PDO=$\sqrt{1-\frac{9}{10}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
∴sin∠OMD=sin（∠MOD+∠MDO）
=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3\sqrt{10}}$，
∵$\frac{MD}{sin∠MOD}=\frac{OD}{sin∠OMD}$，
∴MD=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}a×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3\sqrt{10}}}$=$\frac{9\sqrt{5}-3\sqrt{10}}{7}a$，
PM=$\sqrt{5}a$-$\frac{9\sqrt{5}-3\sqrt{10}}{7}$a=$\frac{3\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{7}a$，
∵$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PD}$（0≤λ≤1），
∴λ=$\frac{\overrightarrow{PM}}{\overrightarrow{PD}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{7}a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{3\sqrt{2}-2}{7}$．

点评 本题考查垂直的证明，考查两线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．