Question

10．已知函数y=a^x（a＞0，a≠1）的反函数y=f（x）的图象过点（$\frac{1}{2}$，-1），函数g（x）=2f²（x）-2mf（x）+n，当x=$\frac{1}{2}$时，有最小值-8，不等式g（x）＞0的解集为A．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求集合A；
（3）设集合B={x||x-t|≤$\frac{1}{2}$}，满足A∩B=∅，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用反函数的知识，求解函数y=f（x）的解析式．
（2）化简不等式，通过二次不等式以及对数不等式的解法求解即可．
（3）求出集合B，利用交集为空集，列出不等式组，求解即可．

解答 解：（1）函数y=a^x（a＞0，a≠1）的反函数y=f（x）=log_ax的图象过点（$\frac{1}{2}$，-1），
可得-1=log_a$\frac{1}{2}$，可得a=2．函数y=f（x）的解析式：f（x）=log₂x．
（2）函数g（x）=2f²（x）-2mf（x）+n=2（log₂x-$\frac{m}{2}$）²+n-$\frac{{m}^{2}}{2}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，有最小值-8，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}=-1}\\{n-\frac{{m}^{2}}{2}=-8}\end{array}\right.$，解得m=-2，n=-6，
∴函数g（x）=2f²（x）+4f（x）-6=2（f（x）+3）（f（x）-1），
不等式g（x）＞0，∴f（x）＜-3或f（x）＞1，即log₂x＜-3或log₂x＞1，
解得x∈（$0，\frac{1}{8}$）∪（2，+∞），
（3）|x-t|≤$\frac{1}{2}$，可得t-$\frac{1}{2}$≤x≤t+$\frac{1}{2}$，集合B={x||x-t|≤$\frac{1}{2}$}，满足A∩B=∅，
可得：t+$\frac{1}{2}≤0$或$\left\{\begin{array}{l}{t+\frac{1}{2}≤2}\\{t-\frac{1}{2}≥\frac{1}{8}}\end{array}\right.$，
解得t$≤-\frac{1}{2}$或$\frac{5}{8}≤t≤\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数与方程的应用，解析式的求法，不等式的解法，考查计算能力．