Question

19．已知椭圆x²+$\frac{y^2}{4}$=1的左右两个顶点分别为A，B，曲线C是以A，B两点为顶点，焦距为2$\sqrt{5}$的双曲线，设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T
（1）求曲线C的方程
（2）设P，T两点的横坐标分别为x₁，x₂，求证x₁．x₂为一定值
（3）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S₁，S₂，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤15，求S₁²-S₂²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆性质求出A（-1，0），B（1，0）．由题意知双曲线的焦距2c=2 $\sqrt{5}$，实半轴a=1，由此能求出双曲线C的方程．
（2）设点P（x₁，y₁），T（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1），代入x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0，由此能证明为x₁•x₂为定值．
（3）由已知条件推导出x₁²+y₁²≤16，x₁²≤4，从而得到1＜x₁≤2，由此能求出S₁²-S₂²的取值范围为[0，1]．

解答 （1）解：∵椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左、右两个顶点分别为A，B，
∴A（-1，0），B（1，0）．
∵曲线C是以A，B两点为顶点，焦距为2$\sqrt{5}$的双曲线，
∴双曲线的焦距2c=2$\sqrt{5}$，实半轴a=1，
∴c=$\sqrt{5}$，b²=c²-a²=4．
∴双曲线C的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）证明：设点P（x₁，y₁），T（x₂，y₂）（x₁＞0，x₂＞0），
直线AP的斜率为k（k＞0），则直线AP的方程为y=k（x+1），
代入x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
整理，得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0，
解得x=-1或x=$\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，
所以x₂=$\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$．
同理将直线方程代入x₂-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，解得x₁=$\frac{4+{k}^{2}}{4-{k}^{2}}$．
∴x₁x₂=$\frac{4+{k}^{2}}{4-{k}^{2}}$•$\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$=1为定值．
（3）解：由（2）知，$\overrightarrow{PA}$=（-1-x₁，-y₁），$\overrightarrow{PB}$=（1-x₁，-y₁），
又$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤15，
∴（-1-x₁）（1-x₁）+y₁²≤15，即 x₁²+y₁²≤16，
∵点P在双曲线上，则 x₁²-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$=1，
∴x₁²+4 x₁²-4≤16，即 x₁²≤4，
又点P是双曲线在第一象限内的点，∴1＜x₁≤2，
∵s₁=$\frac{1}{2}$|AB||y₂|=|y₂|，s₂=$\frac{1}{2}$|OB||y₁|=$\frac{1}{2}$|y₁|，
所以．S₁²-S₂²=y₂²-$\frac{1}{4}$y₁²=（4-4x₂² ）-（ x₁²-1）=5-x₁²-4x₂²
由（Ⅱ）知x₁•x₂=1，即，x₂=$\frac{1}{{x}_{1}}$，
设t=x₁²，则1＜t≤4，
∴S₁²-S₂²=5-t-$\frac{4}{t}$，
∵t+$\frac{4}{t}$在（1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增，
∴当t=4，即x₁=2时，（S₁²-S₂²）_min=0．
当t=2，即x₁=$\sqrt{2}$．（S₁²-S₂²）_max=1
∴S₁²-S₂²的取值范围为[0，1]．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查两数乘积为定值的证明，考查两三角形面积的平方差的取值范围的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．