Question

14．如图所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁内接于半径为$\sqrt{3}$的半O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长为2．

Answer 1

分析 设AB=a，BB₁=h，求出a²=6-2h²，故正四棱柱的体积是V=a²h=6h-2h³，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．

解答 解：设AB=a，BB₁=h，
则OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，连接OB₁，OB，则OB²+BB₁²=OB₁²=3，
∴$\frac{{a}^{2}}{2}$+h²=3，
∴a²=6-2h²，
故正四棱柱的体积是V=a²h=6h-2h³，
∴V′=6-6h²，
当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜$\sqrt{3}$时，V′＜0，
∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．
故答案为：2．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，借助导数研究出四棱柱的体积最大，是解题的关键，根据题意建立适当的模型是解决一个实际问题的关键，学习时要注意积累此类题中模型的建立方法．