Question

4．定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若方程f′（x）=0无解，f[f（x）-2017^x]=2017，当g（x）=sinx-cosx-kx在[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]上与f（x）在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（-∞，-1]．

Answer 1

分析 由题意可知：f（x）为R上的单调函数，则f（x）-2017^x为定值，由指数函数的性质可知f（x）为R上的增函数，则g（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]单调递增，求导，则g'（x）≥0恒成立，则k≤$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）_min，根据函数的正弦函数的性质即可求得k的取值范围．

解答 解：若方程f'（x）=0无解，
则 f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，所以f（x）为R上的单调函数，
?x∈R都有f[f（x）-2017^x]=2017，
则f（x）-2017^x为定值，
设t=f（x）-2017^x，则f（x）=t+2017^x，易知f（x）为R上的增函数，
∵g（x）=sinx-cosx-kx，
∴g′（x）=cosx+sinx-k=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）-k，
又g（x）与f（x）的单调性相同，
∴g（x）在R上单调递增，则当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，g'（x）≥0恒成立，
当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
此时k≤-1，
故答案为（-∞，-1]．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．