Question

13．已知函数f（x）=$\frac{mx}{lnx}$，曲线y=f（x）在点（e²，f（e²））处的切线与直线2x+y=0垂直．
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）讨论g（x）=f（x）-$\frac{k{x}^{2}}{x-1}$零点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得m=2，求得f（x）的解析式，可得导数，令导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）问题转化为讨论klnx-$\frac{2（x-1）}{x}$=0在x∈（0，1）∪（1，+∞）内零点的个数，构造函数h（x）=klnx-$\frac{2（x-1）}{x}$，对k讨论，运用单调性和函数零点存在定理，判断即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{mx}{lnx}$的导数为f′（x）=$\frac{m（lnx-1）}{{（lnx）}^{2}}$，
又由题意有：f′（e²）=$\frac{1}{2}$⇒$\frac{2m}{4}$=$\frac{1}{2}$⇒m=2，
故f（x）=$\frac{2x}{lnx}$，
此时f′（x）=$\frac{2（lnx-1）}{{（lnx）}^{2}}$，由f'（x）≤0⇒0＜x＜1或1＜x≤e，
所以函数f（x）的单调减区间为（0，1）和（1，e]．
（Ⅱ）g（x）=x（$\frac{2}{lnx}$-$\frac{kx}{x-1}$），且定义域是（0，1）∪（1，+∞），
只要讨论$\frac{2}{lnx}$=$\frac{kx}{x-1}$在x∈（0，1）∪（1，+∞）内零点的个数，
亦即要klnx-$\frac{2（x-1）}{x}$=0在x∈（0，1）∪（1，+∞）内零点的个数，
构造函数h（x）=klnx-$\frac{2（x-1）}{x}$，则h′（x）=$\frac{kx-2}{{x}^{2}}$，
①当k≤0时，h'（x）＜0在x∈（0，1）∪（1，+∞）内恒成立，
所以函数h（x）在（0，1）内单调递减，h（x）在（1，+∞）内也单调递减．
又h（1）=0，所以在（0，1）内无零点，在（1，+∞）内也无零点；                     
②当k＞0时，h′（x）=$\frac{k（x-\frac{2}{k}）}{{x}^{2}}$，
（1）若0＜k＜2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，
在（1，$\frac{2}{k}$）内也单调递减，在（$\frac{2}{k}$，+∞）内单调递增．
又h（1）=0，所以在（0，1）内无零点；
易知h（$\frac{2}{k}$）＜0，而h（${e}^{\frac{2}{k}}$）＞0，
故在（$\frac{2}{k}$，+∞）内有一个零点，所以不满足条件；
（2）若k=2，则函数h（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．
又h（1）=0，所以x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h（x）＞0恒成立，故无零点；
（3）若k＞2，则函数h（x）在（0，$\frac{2}{k}$）内单调递减，在（$\frac{2}{k}$，1）内单调递增，
在（1，+∞）内也单调递增．又h（1）=0，所以在（$\frac{2}{k}$，1）及（1，+∞）内均无零点．
又易知h（$\frac{2}{k}$）＜0，而h（e^-k）=k•（-k）-2+2e^k=2e^k-k²-2，
又易证当k＞2时，h（e^-k）＞0，
所以函数h（x）在（0，$\frac{2}{k}$）内有一零点；
综上，k≤0或k=2时，g（x）0个零点，0＜k＜2或k＞2时，g（x）1个零点．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查函数方程的转化思想的运用，分类讨论的思想方法，以及函数零点存在定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．