Question

3．已知一个正四棱柱的侧面展开图的周长为18，则这个正四棱柱的体积的最大值为27．

Answer 1

分析 画出图形，设正四棱住的底面边长为a，侧棱长为b，由题意可得2a+b=9，由a、b＞0求出a的范围，再由体积公式可得V=a²b=a²（9-2a）=-2a³+9a²（0＜a＜$\frac{9}{2}$）．然后利用导数求最值．

解答 解：如图，

设正四棱住的底面边长为a，侧棱长为b，则4a+2b=18，即2a+b=9．
∴b=9-2a＞0，得a＜$\frac{9}{2}$．
其体积V=a²b=a²（9-2a）=-2a³+9a²（0＜a＜$\frac{9}{2}$）．
∴V′=-6a²+18a=-6a（a-3），
当a∈（0，3）时，V′＞0，当a∈（3，$\frac{9}{2}$）时，V′＜0．
∴当a=3时，V有最大值为27．
故答案为：27．

点评 本题考查多面体体积的求法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．