Question

18．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且BC=2AB=4，∠ABC=60°，点E是PD的中点
（Ⅰ）求证：AC⊥PB
（Ⅱ）若AP=2，求B到平面AEC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理求出AC=2$\sqrt{3}$，再由勾股定理得AC⊥AB，由线面垂直得AC⊥PA，从而AC⊥平面PAB，由此能证明AC⊥PB．
（Ⅱ）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B到平面AEC的距离．

解答 证明：（Ⅰ）∵BC=2AB=4，∠ABC=60°，
∴AC=$\sqrt{4+16-2×2×4×cos60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴AC²+AB²=BC²，∴AC⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PA，
∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，∴AC⊥PB．
解：（Ⅱ）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AP=2，E是PD的中点，
∴B（0，2，0），A（0，0，0），C（2$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，2），D（2$\sqrt{3}$，-2，0），E（$\sqrt{3}$，-1，1），
$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}，-1，1$），$\overrightarrow{AC}$=（2$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），
设平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\sqrt{3}x-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}x=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
∴B到平面AEC的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．