Question

7．某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务．该地区某高级中学一兴趣小组由20名高二级学生和15名高一级学生组成，现采用分层抽样的方法抽取7人，组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用．问：
（Ⅰ）应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人；
（Ⅱ）已知该地区有X，Y两种型号的“共享单车”，在市场体验中，该体验小组的高二级学生都租X型车，高一级学生都租Y型车．
（1）如果从组内随机抽取3人，求抽取的3人中至少有2人在市场体验过程中租X型车的概率；
（2）已知该地区X型车每小时的租金为1元，Y型车每小时的租金为1.2元，设为从体验小组内随机抽取3人得到的每小时租金之和，求ξ的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出每一层所占比例数，乘以该层人数即可求得抽取高一级和高二级的学生人数；
（Ⅱ）（1）解法1：直接法、抽取的3人中至少有2人是高二级方法种数为${C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}+{C}_{4}^{3}$，基本事件总数为${C}_{7}^{3}$，由古典概型概率计算公式得答案；解法2：间接法、用1减去抽取的是高二级1人或都是高一级的概率；
（2）从小组内随机抽取3人，得到的ξ的可能取值为：3，3.2，3.4，3.6（元）．分别求出对应的概率，代入期望公式即可求得ξ的数学期望．

解答 解：（Ⅰ）依题意知，应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为$\frac{7}{20+15}×15=3$，
高二学生的人数为：$\frac{7}{20+15}×20=4$；
（Ⅱ）（1）解法1：所求的概率$P=\frac{C_4^2C_3^1+C_4^3}{C_7^3}=\frac{22}{35}$．
解法2：所求概率$P=1-\frac{C_4^1C_3^2+C_3^3}{C_7^3}=\frac{22}{35}$．
（2）从小组内随机抽取3人，得到的ξ的可能取值为：3，3.2，3.4，3.6（元）．
$P（ξ=3）=\frac{C_4^3}{C_7^3}=\frac{4}{35}$，$P（ξ=3.2）=\frac{C_4^2C_3^1}{C_7^3}=\frac{18}{35}$，$P（ξ=3.4）=\frac{C_4^1C_3^2}{C_7^3}=\frac{12}{35}$，$P（ξ=3.6）=\frac{C_3^3}{C_7^3}=\frac{1}{35}$，
故ξ的数学期望.$Eξ=3×\frac{4}{35}+3.2×\frac{18}{35}+3.4×\frac{12}{35}+3.6×\frac{1}{35}=3\frac{9}{35}$（元）．

点评 本题考查古典概型概率计算公式的应用，考查离散型随机变量期望的求法，是中档题．