Question

17．已知四棱锥P-ABCD中，ABCD为边长等于2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2$\sqrt{3}$，过BC的平面将二面角P-BC-A平分，交PA于M，交PD于N，E在线段BC上，且CE=2BE．
（1）证明：ME∥平面PCD；
（2）求二面角A-EN-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）易得∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，
 BM平分∠PBA，CN平分∠PCD
 $\frac{PM}{MA}$=$\frac{PN}{ND}=\frac{2}{1}$，∴$MN=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}BC=EC$，且EC∥MN
可得四边形MECN是平行四边形，即可证明ME∥平面PCD；
（2）如图以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，$\frac{2}{3}$，0），N（0，$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}\sqrt{3}$）
D（0，2，0），利用向量法求解

解答 解：（1）证明：∵ABCD为边长等于2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2$\sqrt{3}$，
∴在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB=4，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB⊥BC}\\{PA⊥面ABCD}\end{array}\right.$，∴∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角，
∵过BC的平面将二面角P-BC-A平分，交PA于M，交PD于N
∴BM平分∠PBA，CN平分∠PCD
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{PM}{MA}=\frac{2}{1}$
又∵BC∥AD，BC?面PAD，AD?面PAD，∴BC∥面PAD
∵面BCNM∩面PAD=MN，∴BC∥MN，
∴$\frac{PM}{MA}$=$\frac{PN}{ND}=\frac{2}{1}$，∴$MN=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}BC=EC$，且EC∥MN
∴四边形MECN是平行四边形，∴EM∥NC，EM?面PCD，NC?面PCD
∴ME∥平面PCD；
（2）如图以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，$\frac{2}{3}$，0），N（0，$\frac{4}{3}$，$\frac{2}{3}\sqrt{3}$）
D（0，2，0）
$\overrightarrow{AN}=（0，\frac{4}{3}，\frac{2}{3}\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AE}=（2，\frac{2}{3}，0）$，$\overrightarrow{DN}=（0，-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{DE}=（2，-\frac{4}{3}，0）$
设平面ANE的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AN}=\frac{4}{3}y+\frac{2\sqrt{3}}{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2x+\frac{2}{3}y=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}=（-1，3，-2\sqrt{3}）$
设平面SEN的法向量为$\overrightarrow{n}=（a，b，c）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DN}=-\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2x-\frac{4}{3}y=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（2，3，\sqrt{3}）$
cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{22}}{88}$
∴二面角A-EN-D的余弦值为$\frac{\sqrt{22}}{88}$．

点评 本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．