Question

11．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）．若f（x）在区间（1，3）上具有单调性，且f（1）=-f（3）=-f（5），则ω=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意函数的一条对称轴为x=4，一个对称中心为（2，0），区间（1，3）的两个端点离与它最近的对称轴的距离为1，可得函数的周期为8，从而求得ω的值．

解答 解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），
∵f（1）=-f（3）=-f（5），∴f（3）=f（5），∴函数的一条对称轴为x=$\frac{3+5}{2}$=4．
∵f（x）在区间（1，3）上具有单调性，∴$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$≥3-1，∴ω≤$\frac{π}{2}$．
由f（1）=-f（3），可得函数的图象的一个对称中心为（2，0），
且此对称中心恰好为区间（1，3）的中点，
∴直线 x=3到对称轴为x=4 的距离等于1，故直线 x=1到离它最近的对称轴的距离也等于1，
故函数周期为2（1+2+1）=8，故函数的周期为$\frac{2π}{ω}$=8，∴ω=$\frac{π}{4}$，
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．