Question

2．设椭圆E的方程为$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足BM=2MA，直线OM的斜率为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．
（1）求椭圆E的离心率e；
（2）若$b=\sqrt{3}$，直线l平行于AB，且在此椭圆上存在不同两点关于直线l对称，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用分点坐标公式可得M的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到；
（2）假设椭圆上存在不同两点C、D关于直线l对称，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD中点H（x₀，y₀）
直线CD方程为：y=$\frac{2}{\sqrt{3}}$x+n．直线l的方程为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+m
代入椭圆方程，△＞0，求得-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$＜n＜\frac{5\sqrt{3}}{3}$
求得x₁+x₂，根据中点坐标公式，求得H点坐标，将H代入直线l的方程，即可求得m的取值范围即可．

解答 解：（1）∵A（a，0）B（0，b）点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，
∴M（$\frac{2a}{3}，\frac{b}{3}$），∵直线OM的斜率为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．∴${k}_{OM}=\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$
∴$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴椭圆E的离心率e=$\sqrt{1-（\frac{b}{a}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
（2）若$b=\sqrt{3}$，则a=2，∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．k${\;}_{AB}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
假设椭圆上存在不同两点C、D关于直线l对称，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD中点H（x₀，y₀）
直线CD方程为：y=$\frac{2}{\sqrt{3}}$x+n．直线l的方程为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+m
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{\sqrt{3}}x+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消y整理可得：$\frac{25}{3}$x²+$\frac{16}{\sqrt{3}}$nx+4n²-12=0，
由△=（$\frac{16}{\sqrt{3}}$n）²-4×$\frac{25}{3}$×（4n²-12）=$\frac{1200-144{n}^{2}}{3}$＞0，解得-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$＜n＜\frac{5\sqrt{3}}{3}$
代入椭圆方程，△＞0，求得-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$＜n＜\frac{5\sqrt{3}}{3}$
且x₁+x₂=-$\frac{16\sqrt{3}n}{25}$，x₁x₂=$\frac{3}{25}（4{n}^{2}-12）$
${x}_{0}=-\frac{8\sqrt{3}n}{25}$，${y}_{0}=\frac{2}{\sqrt{3}}{x}_{0}+n$=$\frac{9n}{25}$
即$\frac{9n}{25}=-\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{8\sqrt{3}n}{25}）+m$，⇒m=-$\frac{3n}{25}$
由-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$$＜n＜\frac{5\sqrt{3}}{3}$，得-$\frac{\sqrt{3}}{5}$＜m$＜\frac{\sqrt{3}}{5}$
∴直线l在y轴上截距的取值范围为：（-$\frac{\sqrt{3}}{5}$，$\frac{\sqrt{3}}{5}$）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及计算能力，属于中档题．