Question

11．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a+b=2，c=$\sqrt{3}$，则角C的最大值为（　　）

• A． 60°
• B． 90°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 利用基本不等式求得ab的最大值，再利用余弦定理、基本不等式求得cosC的最小值，可得角C的最大值．

解答 解：△ABC中，∵a+b=2≥2$\sqrt{ab}$，∴ab≤1，当且仅当a=b=1时，取等号，
又c=$\sqrt{3}$，则由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{（a+b）}^{2}-2ab-3}{2ab}$
=$\frac{{2}^{2}}{2ab}$-1-$\frac{3}{2ab}$=$\frac{1}{2ab}$-1≥$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，当且仅当a=b=1时，取等号，
故cosC的最小值为-$\frac{1}{2}$，∴角C的最大值为120°，
故选：C．

点评 本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用，属于基础题．