Question

16．若关于x的方程|f（|x|）|=a，当a＞0时总有4个解，则f（x）可以是（　　）

• A． x²-1
• B． $\frac{1}{x-1}$
• C． 2^x-2
• D． log₂x-2

Answer 1

分析 根据函数f（x）的解析式，写出f（|x|）与|f（|x|）|的解析式，
再判断对应方程|f（|x|）|=a在a＞0时解的个数．

解答 解：对于A，f（x）=x²-1，∴f（|x|）=x²-1，
∴|f（|x|）|=|x²-1|=$\left\{\begin{array}{l}{1{-x}^{2}，-1≤x≤1}\\{{x}^{2}-1，x＜-1或x＞1}\end{array}\right.$；
方程|f（|x|）|=a，当1＞a＞0时有4个解，
当a=1时有3个解，当a＞1时有2个解，∴A不满足题意；
对于B，f（x）=$\frac{1}{x-1}$，∴f（|x|）=$\frac{1}{|x|-1}$，
∴|f（|x|）|=|$\frac{1}{|x|-1}$|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{|x|-1}，|x|＞1}\\{\frac{1}{1-|x|}，|x|＜1}\end{array}\right.$；
方程|f（|x|）|=a，当1＞a＞0时有2个解，
当a=1时无解，当a＞1时有2个解，∴B不满足题意；
对于C，f（x）=2^x-2，∴f（|x|）=2^|x|-2，
∴|f（|x|）|=|2^|x|-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2{-2}^{|x|}，|x|≤1}\\{{2}^{|x|}-2，|x|＞1}\end{array}\right.$；
方程|f（|x|）|=a，当1＞a＞0时有4个解，
当a=1时有3个解，当a＞1时有2个解，∴C不满足题意；
对于D，f（x）=log₂x-2，∴f（|x|）=log₂|x|-2，
∴|f（|x|）|=|log₂|x|-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2{-log}_{2}|x|，0＜|x|≤4}\\{{log}_{2}|x|-2，|x|＞4}\end{array}\right.$；
方程|f（|x|）|=a，当a＞0时恒有4个解，∴D满足题意．
故选：D．

点评 本题考查了函数与方程的应用问题，应用函数零点与方程解的关系，是中档题．