Question

12．已知定义在R上的函数f（x）=|x³-2x+1|，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4个互不相等的实数根，则所有满足条件的实数a组成的集合为$\left\{{\left.{1，\frac{5}{4}}\right\}}\right.$．

Answer 1

分析 方程f（x）-a|x-1|=0恰有4个互不相等的实数根，转化为：f（x）=a|x-1|有4个解，转化为|x²+x-1|=a有3个解，利用函数的图象求解即可．

解答 解：定义在R上的函数f（x）=|x³-2x+1|，若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4个互不相等的实数根，就是f（x）=a|x-1|有4个解，
即：|x-1||x²+x-1|=a|x-1|有4个解，
因为x=1是方程的解，所以只需|x²+x-1|=a有3个解，
在坐标系中画出函数y=|x²+x-1|与y=a的图象，如图：可知a=1满足题意，
y=-x²-x+1的最大值为：y=$\frac{5}{4}$，
即a=$\frac{5}{4}$时，函数y=|x²+x-1|与y=a的图象有3个交点．
满足题意的a的集合为：$\left\{{\left.{1，\frac{5}{4}}\right\}}\right.$．
故答案为：$\left\{{\left.{1，\frac{5}{4}}\right\}}\right.$．

点评 本题考查函数的图象的应用，函数的零点个数的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．