Question

15．已知$f（x）=（1+\frac{1}{tanx}）{sin^2}x-2sin（x+\frac{π}{4}）sin（x-\frac{π}{4}）$．
（1）若$tanα=2，α∈（0，\frac{π}{2}）$，求f（α）的值；
（2）若$x∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过tanα=2，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，求解正弦函数以及的值，然后求解即可．
方法二：由tanα=2，求解正弦函数以及余弦函数的二倍角的函数值，然后求解即可．
（2）利用两角和的正弦函数化简函数的解析式，通过x的范围求解相位的范围，利用正弦函数的最值求解即可．

解答 （本小题满分17分）（课本P₁₃₅A组第7题P₁₃₆B组第10、12综合改编）．
解：（1）$f（x）=（1+\frac{1}{tanx}）{sin^2}x-2sin（x+\frac{π}{4}）sin（x-\frac{π}{4}）$
=${sin^2}x+sinxcosx+2sin（x+\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）$
=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x+sin（2x+\frac{π}{2}）$
=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（sin2x-cos2x）+cos2x$
=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（sin2x+cos2x）$（4分）
由tanα=2，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，得$sinα=\frac{2}{{\sqrt{5}}}，cosα=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，
$sin2α=2sinα•cosα=2×\frac{2}{{\sqrt{5}}}×\frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{4}{5}$，
$cos2α={cos^2}α-{sin^2}α={（\frac{1}{{\sqrt{5}}}）^2}-{（\frac{2}{{\sqrt{5}}}）^2}=-\frac{3}{5}$，（8分）
所以$f（α）=\frac{1}{2}（sin2α+cos2α）+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}（\frac{4}{5}-\frac{3}{5}）+\frac{1}{2}=\frac{3}{5}$．（9分）
方法二：或由tanα=2，得$sin2α=\frac{2sinαcosα}{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}=\frac{2tanα}{{{{tan}^2}α+1}}=\frac{4}{5}$．
$cos2α=\frac{{{{cos}^2}α-{{sin}^2}α}}{{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}}=\frac{{1-{{tan}^2}α}}{{{{tan}^2}α+1}}=-\frac{3}{5}$．（8分）
所以$f（α）=\frac{1}{2}（sin2α+cos2α）+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}（\frac{4}{5}-\frac{3}{5}）+\frac{1}{2}=\frac{3}{5}$．（9分）
（2）由（1）得$f（x）=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（sin2x+cos2x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$（12分）
由$x∈[\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，得$2x+\frac{π}{4}∈[\frac{5π}{12}，\frac{5π}{4}]$．（14分）
所以$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{4}）≤1$，所以$0≤f（x）≤\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$，（16分）
所以f（x）的取值范围是$[0，\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}]$．（17分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的有界性的应用，考查计算能力．