Question

17．如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，DE=$\sqrt{2}$，ED∥AF且∠DAF=90°．求证：
（1）EF∥平面BCD；
（2）DE⊥平面BCE．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF∥平面BCD．
（2）推导出DE⊥BC，DE⊥BE，由此能证明DE⊥平面BCE．

解答 证明：（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AD为z轴，
建立空间直角坐标系，
则E（1，1，2），F（2，2，0），B（2，0，0），
C（0，2，0），D（0，0，2），
$\overrightarrow{EF}$=（1，1，-2），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{DB}$=（2，0，-2），
设平面BDC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
∵EF?平面BCD，$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}$=1+1-2=0，
∴EF∥平面BCD．
（2）$\overrightarrow{DE}$=（1，1，0），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，1，2），
∵$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BC}$=-2+2=0，$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BE}$=-1+1=0，
∴DE⊥BC，DE⊥BE，
∵BC∩BE=B，∴DE⊥平面BCE．

点评 本题考查考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，函数与方程思想，是中档题．