Question

5．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），并且经过点P（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．
（I） 求椭圆E的方程；
（II） 过F作互相垂直的两条直线l₁，l₂，分别与E交于点A，C与点B，D，求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

分析 （I） 利用已知条件列出方程组，求解a，b，然后求椭圆E的方程；
（II））当直线l₁斜率不存在或为零时，求出四边形ABCD面积；当直线l₁斜率存在时，不妨设为k（k≠0），则直线l₂斜率为$-\frac{1}{k}$，直线l₁的方程为y=k（x-1），与椭圆E联立得（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0，设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用韦达定理以及弦长公式，表达四边形的面积，利用基本不等式求解最小值即可．

解答 解：（ I）由题意椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），并且经过点P（1，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）．
有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=2\\{b^2}=1\end{array}\right.$，则椭圆E的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（5分）
（ II）当直线l₁斜率不存在或为零时，${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}|{AC}|•|{BD}|=2$…（6分）
当直线l₁斜率存在时，不妨设为k（k≠0），
则直线l₂斜率为$-\frac{1}{k}$，直线l₁的方程为y=k（x-1），与椭圆E联立得（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0，由于F在椭圆内，故此方程的△＞0，
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则有${x_1}+{x_2}=\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{{2（{{k^2}-1}）}}{{2{k^2}+1}}$，从而有$|{AC}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{2\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{2{k^2}+1}}$将k替换为$-\frac{1}{k}$，得$|{BD}|=\frac{{2\sqrt{2}（{{k^2}+1}）}}{{{k^2}+2}}$…（9分）
∴${S_{ABCD}}=\frac{1}{2}|{AC}|•|{BD}|=\frac{{4（{{k^2}+1}）}}{{（{2{k^2}+1}）（{{k^2}+2}）}}$，令t=1+k²＞1，
∴${S_{ABCD}}=\frac{{4{t^2}}}{{2{t^2}+t-1}}=\frac{4}{{-{{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{9}{4}}}≥\frac{16}{9}$，
∵$2＞\frac{16}{9}$
四边形ABCD面积的最小值$S=\frac{16}{9}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，四边形的面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．