Question

15．已知椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，左顶点为C，上顶点为D，且|CD|=$\sqrt{5}$
（1）求椭圆Γ的方程
（2）O为坐标原点，斜率为k的直线过P的右焦点，且与Γ交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{b}^{2}}$=0，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，左顶点为C，上顶点为D，且|CD|=$\sqrt{5}$，根据椭圆的性质，求出a，求出b，即可求椭圆方程；
（2）设直线AB的方程为y=k（x-$\sqrt{3}$），代入椭圆方程，消去y并整理，利用韦达定理，结合$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{b}^{2}}$=0，求出k，进而求出|AB|，原点O到直线AB的距离，即可求△AOB的面积．

解答 解：（1）依题意，∵椭圆Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
左顶点为C，上顶点为D，且|CD|=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²+b²=5，a²-b²=c²，解得a=2，b=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$． …（5分）
（2）∵直线AB过右焦点（$\sqrt{3}$，0），设直线AB的方程为y=k（x-$\sqrt{3}$）．
代入椭圆方程，消去y并整理得（1+4k²）x²-8$\sqrt{3}$k²x+12k²-4=0． （*）
故x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
∴y₁y₂=k（x₁-$\sqrt{3}$）•k₂（x-$\sqrt{3}$）=$\frac{-{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．
又$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{b}^{2}}$=0，即$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$+y₁y₂=0．
∴$\frac{3{k}^{2}-1}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{-{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，可得k²=$\frac{1}{2}$，即k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
方程（*）可化为3x²-4$\sqrt{3}$x+2=0，
由|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{3}{2}}$•$\sqrt{（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}-4×\frac{2}{3}}$=2．
∵原点O到直线AB的距离d=$\frac{|\sqrt{3}k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=1． …（13分）

点评 本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，确定直线AB的斜率是关键．