Question

9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数，0≤α≤π），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）写出C的极坐标方程；
（2）若A、B为曲线C上的两点，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求|OA|+|OB|的范围．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程消去参数α，得曲线C的普通方程，再由普通方程能求出C的极坐标方程．
（2）设点A的极角为θ，点B的极角为$θ+\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}≤θ≤\frac{5π}{12}$，则|OA|+|OB|=4sinθ+4sin（$θ+\frac{π}{3}$）=4$\sqrt{3}$sin（$θ+\frac{π}{6}$），由此能求出|OA|+|OB|的取值范围．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数，0≤α≤π），
∴消去参数α，得曲线C的普通方程为x²+（y-2）²=4，x∈[-2，2]，y∈[2，4]，
∴C的极坐标方程为ρ²cos²θ+（ρsinθ-2）²=4，即ρ=4sinθ，（$\frac{π}{4}≤θ≤\frac{3π}{4}$）．
（2）设点A的极角为θ，点B的极角为$θ+\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}≤θ≤\frac{5π}{12}$，
则|OA|+|OB|=4sinθ+4sin（$θ+\frac{π}{3}$）
=4$\sqrt{3}$sin（$θ+\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{4}≤θ≤\frac{5π}{12}$，∴$\frac{5π}{12}$$≤θ+\frac{π}{6}≤$$\frac{7π}{12}$，
当θ$+\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{12}$或$θ+\frac{π}{6}=\frac{7π}{12}$时，
（|OA|+|OB|）_min=4$\sqrt{3}$sin$\frac{5π}{12}$=4$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}+\frac{π}{6}$）
=4$\sqrt{3}$（sin$\frac{π}{4}cos\frac{π}{6}$+cos$\frac{π}{4}sin\frac{π}{6}$）
=4$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$）=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
当$θ+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，（|OA|+|OB|）_max=4$\sqrt{3}sin\frac{π}{2}$=4$\sqrt{3}$．
∴|OA|+|OB|的取值范围是[3$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，4$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段和的取值范围的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．