Question

14．已知函数f（x）=alnx-x+$\frac{1}{x}$，在区间（0，2]内任取两个不相等的实数m．n，若不等式mf（m）+nf（n）＜nf（m）+mf（n）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，$\frac{5}{2}$]
• C． [2，$\frac{5}{2}$]
• D． [$\frac{5}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到函数的单调性，问题转化为a≤x+$\frac{1}{x}$在（0，2]恒成立，求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{{-x}^{2}+ax-1}{{x}^{2}}$，
若不等式mf（m）+nf（n）＜nf（m）+mf（n）在（0，2]恒成立，
则（m-n）[f（m）-f（n）]＜0在（0，2]恒成立，
故f（x）在（0，2]递减，
故-x²+ax-1≤0在（0，2]恒成立，
故a≤x+$\frac{1}{x}$在（0，2]恒成立，
而y=x+$\frac{1}{x}$≥2在（0，2]恒成立，当且仅当x=1时取最小值2，
故a≤2，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．