Question

3．已知定义在R上的函数f（x）满足f（$\sqrt{3}$）=-2，f′（x）＞-$\sqrt{3}$，若x∈（0，π），则不等式f（2sinx）≤-4$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+1的解集（　　）

• A． [$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
• B． （0，$\frac{π}{3}$]
• C． [$\frac{2π}{3}$，π）
• D． （0，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，π）

Answer 1

分析 由题意可得f（2sinx）+$\sqrt{3}$•2sinx≤1，令2sinx=t，即f（t）+$\sqrt{3}$t≤1  再构造函数，利用导数和函数的单调性和三角函数的性质即可求出．

解答 解：不等式f（2sinx）≤-4$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+1转化为f（2sinx）≤-2$\sqrt{3}$sinx+1，
即f（2sinx）+$\sqrt{3}$•2sinx≤1，
令2sinx=t，即f（t）+$\sqrt{3}$t≤1  ①，
∵f′（x）＞-$\sqrt{3}$，
∴f′（x）+$\sqrt{3}$＞0，
令g（x）=f（x）+$\sqrt{3}$x，
∴g′（x）=f′（x）+$\sqrt{3}$＞0，
∴g（x）在（0，π）上单调递增，
∵g（$\sqrt{3}$）=f（$\sqrt{3}$）+3=-2=3=1，
∴①式即为f（t）+$\sqrt{3}$t≤f（$\sqrt{3}$）+$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$，
∴g（t）≤g（$\sqrt{3}$）  ②，
∴t≤$\sqrt{3}$，
∴2sinx≤$\sqrt{3}$，
∴sinx≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴x∈（0，$\frac{π}{3}$]∪[$\frac{2π}{3}$，π），
故选：D．

点评 本题考查了导数和函数的单调性的关系，以及正弦函数的性质和不等式的解法，属于中档题．