Question

12．在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由题意可得该正四面体恰好以正方体的面对角线为棱，设出正方体棱长，从而求出正四面体棱长，由此能出结果．

解答 解：由题意可知该正四面体恰好以正方体的面对角线为棱，
故设正方体的棱长为a，则正四面体的棱长为$\sqrt{2}$a，
正方体的表面积为6a²，正四面体的表面积为4×$\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\sqrt{2}a×sin60°$=2$\sqrt{3}a$²，
正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为：$\frac{6{a}^{2}}{2\sqrt{3}{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的表面积公式，得到正四面体恰好以正方体的面对角线为棱是解决问题的关键，属基础题．