Question

17．已知四棱锥V-ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，VA⊥平面ABCD，且VA=4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是8+4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由线面垂直的判定与性质，可证出△VAB、△VAD、△VBC、△VCD都是直角三角形．由VA=4且AB=AD=2，根据勾股定理算出VB=VD=2$\sqrt{5}$，最后利用直角三角形的面积公式即可算出所有直角三角形的面积的和

解答 解：∵VA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴VA⊥BC
∵底面ABCD是正方形，可得BC⊥AB，VA∩AB=A，
∴BC⊥平面VAB，结合VB?平面VAB，得BC⊥VB
同理可得CD⊥VD，
∵VA⊥平面ABCD，AB、AD?平面ABCD，
∴VA⊥AB且VA⊥AD
综上所述，四棱锥的四个侧面都是直角三角形，
∵VA=4，AB=AD=2，∴VB=VD=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
由此可得，所有直角三角形的面积的和为
S=2×$\frac{1}{2}$×2×4+2×$\frac{1}{2}$×2×$2\sqrt{5}$=8+4$\sqrt{5}$．
故答案为：8+4$\sqrt{5}$．

点评 本题给出底面为正方形且一条侧棱与底面垂直的四棱锥，求它的侧面所有直角三角形面积之和，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与直角三角形的面积公式等知识，属于基础题．