Question

10．（1）设由三个有序数组成的集合A={（x₁，x₂，x₃）|x_i∈{-1，0，1}，i=1，2，3}，求集合A中满足条件“|x₁|+|x₂|+|x₃|=2”的元素个数n；
（2）在（1）的条件下，设f（x）=（a+bx+cx²）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ，若a₀+a₂+…+a_2n=a₁+a₃+…+a_2n-1=2¹¹，求正数a，c的积的最大值．

Answer 1

分析 （1）推导出x₁，x₂，x₃ 中有一个取0，另2个取±1，由此能求出集合A中满足条件“|x₁|+|x₂|+|x₃|=2”的元素个数n．
（2）由n=12，得f（x）=（a+bx+cx²）¹²=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₄x²⁴，再由a₀+a₂+…+a₂₄=a₁+a₃+…+a₂₃=2¹¹，令x=1，得a+b+c=±2，令x=-1，得a+c=b，由此能求出正数a，c的积的最大值．

解答 解：（1）∵由三个有序数组成的集合A={（x₁，x₂，x₃）x_i∈{-1，0，1}，i=1，2，3}，
集合A中元素满足条件“|x₁|+|x₂|+|x₃|=2”，
∴x₁，x₂，x₃ 中有一个取0，另2个取±1，
∴集合A中满足条件“|x₁|+|x₂|+|x₃|=2”的元素个数：
n=${C}_{3}^{1}×2×2$=12．
（2）∵n=12，∴f（x）=（a+bx+cx²）¹²=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₄x²⁴，
∵a₀+a₂+…+a₂₄=a₁+a₃+…+a₂₃=2¹¹，
∴令x=1，得（a+b+c）¹²=a₀+a₁+a₂+…+a₃₆=2¹²，
∴a+b+c=±2，
令x=-1，得（a-b+c）¹²=a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₂₃-a₂₄=0，
∴a+c=b，
∵正数a，c，即a＞0，c＞0，∴b＞0，
∴a+b+c=2，∴a+c=b=1，
∴a+c=1$≥2\sqrt{ac}$，∴ac$≤\frac{1}{4}$．
∴当且仅当a=c=$\frac{1}{2}$时，ac取最大值$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查考查集合中元素个数的求法，考查两个正数乘积的最大值的求法，考查排列组合、二项式系数等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，函数与方程思想，是中档题．