Question

6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0
（Ⅰ）求A的大小
（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且a=$\sqrt{3}$，求b²+c²的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，由正弦定理可以将acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0变形为sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC，进而由三角函数的恒等变形分析可得$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合A的范围分析可得答案；
（Ⅱ）由正弦定理分析可得b²+c²=4（sin²B+sin²C），结合三角函数的恒等变形分析可得b²+c²=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）+4，分析B的范围，可得1＜2sin（2B-$\frac{π}{6}$）≤2，将其代入b²+c²=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）+4中，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，若acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
由正弦定理可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC，
即sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sin（A+C）+sinC，
进而可得：$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
即$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又由A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
则有A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
即A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
则b²+c²=4（sin²B+sin²C）=2（2-cos2B-cos2C
=4+2cos2B-2cos2（$\frac{2π}{3}$-B）=4-cos2B+$\sqrt{3}$sin2B=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）+4，
又$\left\{\begin{array}{l}{0＜B＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-B＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
解可得$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
则有1＜2sin（2B-$\frac{π}{6}$）≤2，
故5＜b²+c²≤6．

点评 本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的综合应用，熟练掌握灵活应用相关公式及定理是解题的关键．