Question

16．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，a_n+1（a_n+1-2）=a_n（a_n+2）且S₃=12．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数列递推式可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=2（a_n+1+a_n），又a_n＞0，得a_n+1-a_n=2，可得数列{a_n}是公差为2的等差数列，代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把求数列{a_n}的通项公式代入${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，然后利用裂项相消法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 （Ⅰ）证明：由a_n+1（a_n+1-2）=a_n（a_n+2），得${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}=2{a}_{n+1}+2{a}_{n}$，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=2（a_n+1+a_n），
又a_n＞0，∴a_n+1+a_n＞0，则a_n+1-a_n=2．
∴数列{a_n}是公差为2的等差数列．
又S₃=12，∴3a₁+6=12，得a₁=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，${b}_{n}=\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n×2（n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{n}{4n+4}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．