Question

7．某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．
（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到理科题的概率；
（2）该考生答对理科题的概率均为$\frac{4}{5}$，若每题答对得10分，否则得零分，现该生抽到3道理科题，求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）记该考生在第一次抽到理科题为事件A，第二次和第三次均抽到理科题为事件B，则P（A）=$\frac{{C}_{4}^{1}{A}_{6}^{2}}{{A}_{7}^{3}}$，P（AB）=$\frac{{A}_{4}^{3}}{{A}_{7}^{3}}$，利用条件概率能求出该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到理科题的概率．
（2）由题意X的可能取值为0，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能出其所得总分X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）记该考生在第一次抽到理科题为事件A，
第二次和第三次均抽到理科题为事件B，
P（A）=$\frac{{C}_{4}^{1}{A}_{6}^{2}}{{A}_{7}^{3}}$，P（AB）=$\frac{{A}_{4}^{3}}{{A}_{7}^{3}}$，
∴该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到理科题的概率：
P（B|A）=$\frac{P（AB）}{P（A）}$=$\frac{{A}_{4}^{3}}{{C}_{4}^{1}{A}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$．
（2）P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，
P（X=10）=${C}_{3}^{1}（\frac{4}{5}）（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{12}{125}$，
P（X=20）=${C}_{3}^{2}（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{1}{5}）=\frac{48}{125}$，
P（X=30）=${C}_{3}^{0}（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
∴其所得总分X的分布列为：

X	0	10	20	30
P	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

E（X）=$0×\frac{1}{125}+10×\frac{12}{125}+20×\frac{48}{125}+30×\frac{64}{125}$=24．

点评 本题考查条件概率、离散型随机变量的分列和数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．