Question

12．已知直线2x+y-k=0（k＞0）与圆x²+y²=4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$|$≥\frac{\sqrt{3}}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|，那么k的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{5}$，+∞）
• B． [$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）
• C． [$\sqrt{3}$，+∞）
• D． [$\sqrt{3}$，2$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论．

解答 解：设AB中点为D，则OD⊥AB，
∵|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$|$≥\frac{\sqrt{3}}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|，∴|2$\overrightarrow{OD}$|$≥\frac{\sqrt{3}}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|⇒|$\overrightarrow{AB}$|$≤2\sqrt{3}$|$\overrightarrow{OD}$|
又∵OD²+$\frac{1}{4}A{B}^{2}=4$，∴OD²≥1．
∵直线2x+y-k=0（k＞0）与圆x²+y²=4交于不同的两点A、B，
∴OD²＜4
∴$1≤（\frac{k}{\sqrt{5}}）^{2}＜4$，解得$\sqrt{5}≤k＜2\sqrt{5}$
故选：B

点评 本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．