Question

2．已知点O为△ABC的外心，外接圆半径为1，且满足2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则△ABC的面积为$\frac{9\sqrt{15}}{32}$．

Answer 1

分析 推导出OA=OB=OC=1，sin∠AOC=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$，sin∠BOC=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，sin∠AOB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，△ABC的面积S=S_△AOC+S_△BOC+S_△AOB，由此能求出结果．

解答 解：∴点O为△ABC的外心，△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，
∴OA=OB=OC=1．
且满足2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$3\overrightarrow{BO}$=2$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OC}$，
两边平方，得$9{\overrightarrow{BO}}^{2}=4{\overrightarrow{OA}}^{2}+16{\overrightarrow{OC}}^{2}+16\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$，
∴9R²=4R²+16R²+16R²cos∠AOC，
∴cos∠AOC=-$\frac{11}{16}$，sin∠AOC=$\frac{3\sqrt{15}}{16}$，
∴${S}_{△AOC}=\frac{1}{2}OA•OC•sin∠AOC$=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{3\sqrt{15}}{16}$=$\frac{3\sqrt{15}}{32}$，
同理，由$2\overrightarrow{AO}$=3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$，得cos∠BOC=-$\frac{7}{8}$，sin∠BOC=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
S_△BOC=$\frac{1}{2}×OB×OC×sin∠BOC$=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{\sqrt{15}}{16}$，
由4$\overrightarrow{CO}$=2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$，得cos∠AOB=$\frac{1}{4}$，sin∠AOB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}×OA×OB×sin∠AOB$=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$，
∴△ABC的面积：
S=S_△AOC+S_△BOC+S_△AOB=$\frac{3\sqrt{15}}{32}+\frac{\sqrt{15}}{16}+\frac{\sqrt{15}}{8}$=$\frac{9\sqrt{15}}{32}$．
故答案为：$\frac{9\sqrt{15}}{32}$．

点评 本题考查考查三角形面积的求法，考查平面向量、同角三角函数关系式、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，函数与方程思想，是中档题．