Question

13．已知点A，B，C在圆x²+y²=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（3，0），则|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|的最小值为2．

Answer 1

分析 由题意知AC为直径，则|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|=|2$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{PB}$|，
利用不等式的性质求出|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|的最小值．

解答 解：由AB⊥BC知，AC为直径，
∴|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|=|2$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{PB}$|≥|2$\overrightarrow{PO}$|-|$\overrightarrow{PB}$|=6-|$\overrightarrow{PB}$|；
∴当B为（-1，0）时，6-|PB|≥6-4=2，
∴|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|取得最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了不等式的应用问题，是基础题．