Question

6．我国古代数学名著《九章算术》中记录割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2-$\frac{1}{2-\frac{1}{2-…}}$中“…”即代表无限次重复，但原式是个定制x，这可以通过方程2-$\frac{1}{x}$=x解得x=1，类比之，$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}$=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． -1或2
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．

解答 解：由已知代数式的求值方法：
先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），
可得要求的式子．
令 $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+…}}}$=m（m＞0），
则两边平方得，则2+$\sqrt{2+\sqrt{2+…}}$=m²，
即2+m=m²，解得，m=2，m=-1舍去．
故选：C．

点评 本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．