Question

8．已知$sin（α+\frac{13π}{6}）+cosα=-\frac{1}{3}$，则$cos（\frac{π}{6}-α）$=（　　）

• A． $-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• C． $-\frac{{\sqrt{3}}}{9}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{9}$

Answer 1

分析 利用两角和的正弦公式求得化简所给的式子求得sin（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$，再利用诱导公式求得 $cos（\frac{π}{6}-α）$=sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{6}$-α）]的值．

解答 解：∵已知$sin（α+\frac{13π}{6}）+cosα=-\frac{1}{3}$，
即 sin（α+$\frac{π}{6}$）+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{1}{2}$cosα+cosα=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα）
=$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{3}$，
∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
则$cos（\frac{π}{6}-α）$=sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{6}$-α）]=sin（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
故选：C．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，诱导公式的应用，属于基础题．