Question

5．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）在区间（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）上单调，当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值5，当x=$\frac{3π}{2}$时，f（x）取得最小值-1，
（1）求f（x）的解析式
（2）当x∈[0，4π]时，函数g（x）=2^x|f（x）|-（a+1）2^x+1有8个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的单调性和最值性，建立方程关系进行求解即可．
（2）利用函数与方程之间的关系进行转化，利用数形结合进行求解即可．

解答 （1）解：由题意可知，A+B=5，-A+B=-1，∴A=3，B=2
∵$\frac{2π}{ω}=2（\frac{3π}{2}-\frac{π}{2}）$∴ω=1∴f（x）=3sin（x+φ）+2
又∵$f（\frac{π}{2}）=5，即sin（\frac{π}{2}+φ）=1且|φ|＜\frac{π}{2}∴φ=0$
∴f（x）的解析式为f（x）=3sinx+2
（2）当x∈[0，4π]时，函数g（x）有8个零点，
∵2^x＞0，∴原方程等价于当x∈[0，4π]时，方程|f（x）|=2（a+1）有8个不同的解．
即y=|f（x）|与y=2（a+1）有8个不同的交点．画出对应的图象，如图所示：
则0＜2（a+1）＜1，解得$-1＜a＜-\frac{1}{2}$
所以实数a的取值范围时$-1＜a＜-\frac{1}{2}$

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及函数与方程的应用，求出函数的解析式以及利用数形结合是解决本题的关键．