Question

10．在[0，2π]上随机取一个值α，使得关于x的方程x²-4x•sinα+1=0有实根的概率为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 求出方程x²-4x•sinα+1=0有实根的α范围，利用几何概型的概率公式即可得到结论．

解答 解：在[0，2π]上随机取一个值α，对应事件的区间长度为2π，
使得关于x的方程x²-4x•sinα+1=0有实根，
则△=16sin²α-4≥0，解得sin$α≥\frac{1}{2}$或sin$α≤-\frac{1}{2}$，
所以$\frac{π}{6}≤α≤\frac{5π}{6}$或$\frac{7π}{6}≤α≤\frac{11π}{6}$，对应区间长度为$\frac{4π}{3}$，
由几何概型的概率公式得到所求概率为$\frac{\frac{4π}{3}}{2π}=\frac{2}{3}$；
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了几何概型概率的求法；关键是明确几何测度为区间长度．