Question

18．已知f（x）=|ax-1|（a∈R），不等式f（x）＞5的解集为{x|x＜-3或x＞2}．
（1）求a的值；
（2）解不等式f（x）-f（$\frac{x}{2}$）≤2．

Answer 1

分析 （1）讨论a=0，a＞0，a＜0，由题意可得-3，2为|ax-1|=5的两根，运用绝对值不等式的解法，即可得到a=-2：
（2）运用绝对值的含义，讨论x的范围可得$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x≤2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-1≤x＜-\frac{1}{2}}\\{-3x-2≤2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x≥-\frac{1}{2}}\\{x≤2}\end{array}}\right.$，解不等式即可得到所求解集．

解答 解：（1）由|ax-1|＞5，得到ax＞6或ax＜-4，
当a=0时，不等式无解．
当a＜0时，$x＜\frac{6}{a}$或$x＞-\frac{4}{a}$．
由题意可得-3，2为|ax-1|=5的两根，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{6}{a}=-3}\\{-\frac{4}{a}=2}\end{array}}\right.$，解得a=-2．
当a＞0时，$x＞\frac{6}{a}$或$x＜-\frac{4}{a}$．
故$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{6}{a}=2}\\{-\frac{4}{a}=-3}\end{array}}\right.$，此时a无解．
综上所述，a=-2．
（2）f（x）=|-2x-1|，
f（x）-f（$\frac{x}{2}$）≤2，即为：
|2x+1|-|x+1|≤2?$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x≤2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-1≤x＜-\frac{1}{2}}\\{-3x-2≤2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x≥-\frac{1}{2}}\\{x≤2}\end{array}}\right.$，
即-2≤x＜-1或$-1≤x＜-\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}≤x≤2$．
故原不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．

点评 本题考查不等式的解法，注意运用转化思想和分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．