Question

如图，已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆上一点，且在x轴上方，PF₁⊥F₁F₂，PF₂=3PF₁，过P，F₁，F₂三点的圆C₂截y轴的线段长为6，过点F₂做直线PF₂的垂线交直线l：x=4

2

于点Q
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C₁只有一个交点；
（Ⅲ）若过直线l：x=4

2

上任意一点A引圆C₂的两条切线，切点分别为M，N，试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：压轴题,存在型

分析：对第（1）问，由已知条件寻找PF₁或PF₂与圆的直径的关系，再利用椭圆的定义，可得a²，b²；
对第（2）问，设出Q点的坐标，由PF₂⊥QF₂得Q的坐标，从而得直线PQ的方程，联立直线与椭圆的方程，只需证判别式△=0即可；
对第（3）问，先设出A点的坐标，再设法用此坐标建立直线MN的方程，根据直线方程的形式特点可获取定点．

解答： 解：（Ⅰ）∵△PF₁F₂为直角三角形，∴斜边PF₂为圆C₂的直径．
设圆C₂与y轴交于点B，D，圆心为点C，
∵PF₁∥y轴，坐标原点O为线段F₁F₂的中点，
∴圆心C₂即为PF₂与y轴的交点，从而BD也是圆C₂的直径．
由题意知|BD|=|PF₂|=6=3|PF₁|，得|PF₁|=2，
根据椭圆的定义，有|PF₁|+|PF₂|=2a，则2a=2+6，得a²=16，
在直角△PF₁F₂中，由勾股定理有|F₁F₂|²=|PF₂|²-|PF₁|²，
即（2c）²=32，∴c²=8，从而b²=a²-c²=8，
故椭圆C₁的方程为

x2

16

+

y2

8

=1．
（Ⅱ）设Q(4

2

，y0)，易知P(-2

2

，2)，F2(2

2

 ，0)，
由F₂P⊥F₂Q，得

F2P

•

F2Q

=0，
即(-4

2

，2)•(2

2

，y0)=0，得y₀=8．
则PQ的斜率kPQ=

8-2

4 2 +2 2

=

2

2

，从而直线PQ的方程为y-2=

2

2

(x+2

2

)，
即y=

2

2

x+4，联立

x2

16

+

y2

8

=1，消去y并整理得x2+4

2

x+8=0，
∵△=(4

2

)2-32=0，∴直线PQ与椭圆C₁相切，即直线PQ与椭圆C₁只有一个交点．
（Ⅲ）设切点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A(4

2

，t)，
由（Ⅱ）知圆C₂的方程为x²+（y-1）²=9，即x²+y²-2y-8=0，
则切线AM的方程为x1x+y1y-2•

y1+y

2

-8=0，即x₁x+（y₁-1）y-y₁-8=0，
同理，切线AN的方程为x₂x+（y₂-1）y-y₂-8=0，
将A点坐标分别代入AM，AN的方程中，得

4 2 x1+(y1-1)t-y1-8=0 4 2 x2+(y2-1)t-y2-8=0

，
于是M，N的坐标都满足方程4

2

x+(y-1)t-y-8=0，即4

2

x-y-8+(y-1)t=0，
根据两点确定一条直线，MN的方程就是4

2

x-y-8+(y-1)t=0，
当

y-1=0 4 2 x-y-8=0

即

x= 9 2 8 y=1

时，MN的方程对t∈R恒成立，
故直线恒过定点(

9 2

8

，1)．

点评：1．本题已知条件众多，应充分利用题中给出的信息，并注意信息与信息之间的联系，另外，确定椭圆方程时，
不可忽略条件a²=b²+c²．
2．判断直线与椭圆的位置关系时，常联立直线与椭圆的方程，消去x或y，得到一个关于y或x的一元二次方程，根据判别式△的符号下结论．
3．直线与圆相切是直线与圆的一种很重要的位置关系，熟记一些常用的规律，可减少许多繁琐的计算量，如过圆x²+y²+Dx+Ey+F=0上一点（x₀，y₀）的圆的切线方程为x0x+y0y+D•

x0+x

2

+E•

y0+y

2

+F=0，即x²用x₀x代，y²用y₀y代，x用

x0+x

2

代，y用

y0+y

2

代，此规律不仅适合于圆，也适合于椭圆，抛物线等．
4．判断直线是否过定点，常从直线方程的形式入手，采用分离参数法处理．