Question

已知四棱锥P-ABCD（图1）的三视图如图2所示，E是侧棱PC上的动点．

（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；
（Ⅲ）点E在什么位置时，二面角D-AE-B的大小为120°？

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间角

分析：（Ⅰ）求出棱锥的底面积和高，结合棱锥的体积公式，即可求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅱ）根据线面垂直的性质，只需要证明BD⊥平面PAC即可证明BD⊥AE
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，利用向量法，结合二面角D-AE-B的大小为120°，即可确定E的位置．

解答： 解：（Ⅰ）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．
∴VP-ABCD=

1

3

SABCD×PC=

1

3

×12×2=

2

3

．
（Ⅱ）不论点E在何位置，都有ED⊥AE．
证明如下：连接AC．∵PC⊥底面ABCD，且BD⊆底面ABCD，
∴BD⊥PC．又AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．
∵不论点E在何位置，都有AE⊆平面PAC，
∴不论点E在何位置，都有ED⊥AE．
（Ⅲ）解法1：当点E为PC的中点时，二面角D-AE-B的大小为120°．

在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结EF．
∵AD=AE=1，DE=EF=

2

，AE=AE=

3

，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
从而Rt△ADF≌Rt△AEF，
∴EF⊥AE．
∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角．
在Rt△ADF中，DF=

AD•DE

AE

=

1× 2

3

=

6

3

，
∴EF=

6

3

，又ED=

2

，
在△DFB中，由余弦定理得cos∠DFB=

DF2+EF2-BD2

2DF•EF

=-

1

2

，
∴∠DFB=120°，
即二面角D-AE-B的大小为120°．
解法2：如图，以点C为原点，

CD

，

CB

，

CP

所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），从而

DA

=(0，1，0)，

DE

=(-1，0，1)，

BA

=(1，0，0)，

BE

=(0，-1，1)．
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为：

n1

=(x1，y1，z1)，

n2

=(x2，y2，z2)，
由

n1 • DA =0 n2 • DE =0

，即

y1=0 -x1+z1=0

，取

n1

=(1，0，1)，
由

n2 • BA =0 n2 • BE =0

，即

x2=0 -y2+z2=0

，取

n2

=(0，-1，-1)，
设二面角D-AE-F的平面角为θ，则cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

-1

2 × 2

=-

1

2

，
∴θ=120°，即二面角D-AE-B的大小为120°．

点评：本题主要考查锥体的体积计算，线面垂直的判定，以及二面角的求法，建立坐标系利用向量法是解决本题的关键，运算量较大．