Question

如图，已知在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2．
（Ⅰ）求证：平面SAB⊥平面SBC；
（Ⅱ）求直线SC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由SA⊥平面ABCD，BC⊆平面ABCD推断出SA⊥BC，又∠ABC=90°即AB⊥BC，利用线面垂直的判定定理推断出BC⊥面SAB，又BC⊆面SBC，根据面面垂直的判定定理平面SAB⊥平面SBC，
（Ⅱ）连接AC，由SA⊥平面ABCD，推断出AC是SC在底面ABCD内的射影，进而可知∠SCA为直线SC与底面ABCD所成角，求得A，又SA=2，进而求得tan∠SCA的值，即直线SC与底面ABCD所成角的正切值为

2

2

．

解答： （Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABCD，BC⊆平面ABCD
∴SA⊥BC，
又∵∠ABC=90°即AB⊥BC
∵AB、SA⊆面SAB
∴BC⊥面SAB，
DSACB
又∵BC⊆面SBC
∴平面SAB⊥平面SBC，
（Ⅱ）解：连接AC
∵SA⊥平面ABCD
∴AC是SC在底面ABCD内的射影
∴∠SCA为直线SC与底面ABCD所成角，
∵AB=BC=2，∠ABC=90°
∴AC=2

2

又∵SA=2
∴tan∠SCA=

2

2 2

=

2

2

，即直线SC与底面ABCD所成角的正切值为

2

2

．

点评：本题主要考查了面面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的二面角．考查了学生基础知识综合运用．