Question

已知等差数列{a_n}中，a₂=5，a₆=13．
（1）求等差数列的通项公式a_n；
（2）设b_n=

2

n(an+1)

，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）令c_n=（n+1）S_n•3ⁿ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求解首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）把a_n代入b_n=

2

n(an+1)

，整理后利用裂项相消法求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）把（2）中求得的S_n代入c_n=（n+1）S_n•3ⁿ，整理后利用错位相减法数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由

a2=5 a6=13

，得

a1+d=5 a1+5d=13

，解得

a1=3 d=2

．
∴等差数列{a_n}的通项公式a_n=a₁+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1；
（2）∵a_n=2n+1，
∴bn=

2

n(an+1)

=

2

n(2n+1+1)

=

2

n(2n+2)

=

1

n(n+1)

=(

1

n

-

1

n+1

)，
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n-1+b_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）∵c_n=（n+1）Sn•3n
=(n+1)•

n

(n+1)

3n=n•3n，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n-1+c_n=1×3¹+2×3²+3×3³+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ ①
∴3Tn=1×32+2×33+3×34+…+(n-1)×3n+n×3n+1    ②
①-②得：Tn-3Tn=1×31+1×32+1×33+…+1×3n-n×3n+1，
即-2Tn=31+32+33+…+3n-n×3n+1=

3(1-3n)

1-3

-n×3n+1，
∴Tn=

1

4

(2n-1)•3n+1+

3

4

．

点评：本题考查等差数列的通项公式得求法，考查了裂项相消法和错位相减法求数列的和，是中档题．