Question

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-

3

，0），右顶点为D（2，0），设点A（1，

1

2

）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）已知直线l与椭圆相交弦BC的中点为A，求直线l的方程；
（3）求△FBC的面积S_△FBC．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用左焦点为F（-

3

，0），右顶点为D（2，0），得到a，c，可得b，即可求该椭圆的标准方程；
（2）利用点差法，求斜率，即可求直线l的方程；
（3）求出B，C的坐标，可得|BC|，求出F到直线BC距离，即可求△FBC的面积S_△FBC．

解答： 解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则c=

3

，a=2，
∴b=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1（4分）
（2）B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）则代入椭圆方程作差得

x12-x22

4

+y12-y22=0
∵直线l与椭圆相交弦BC的中点为A，
∴直线的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

，故直线BC方程：x+2y-2=0  （8分）
（3）联立

x2

4

+y2=1与x+2y-2=0，解得线段BC两端点坐标分别为（0，1）（2，0），
故|BC|=

5

，F到直线BC距离d=

3 +2

5

，
∴S_△FBC=

1

2

|BC|d=

1

2

•

5

•

3 +2

5

=1+

3

2

    （12分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，正确运用点差法是关键．