Question

2008年5月12日，四川汶川发生8.0级特大地震，通往灾区的道路全部中断.5月12日晚，抗震救灾指挥部决定从水路（一支队伍）、陆路（东南和西北两个方向各一支队伍）和空中（一支队伍）同时向灾区挺进．在5月13日，仍时有较强余震发生，天气状况也不利于空中航行．已知当天从水路抵达灾区的概率是

1

2

，从陆路每个方向抵达灾区的概率都是

1

2

，从空中抵达灾区的概率是

1

4

．
（Ⅰ）求在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率；
（Ⅱ）求在5月13日抵达灾区的队伍数ξ的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由相互独立事件的概率乘法公式能求出在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率．
（Ⅱ）设5月13日抵达灾区的队伍数为ξ，则ξ=0、1、2、3、4．分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），
P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出在5月13日抵达灾区的队伍数ξ的数学期望．

解答： （理）（Ⅰ）解：依据题意，∵队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，
将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件．
记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，
而且P（B）=

1

4

，P（C）=

1

2

．…（2分）
在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是
P（ξ=1）=

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2

+C

0 3

×(1-

1

2

)3×

1

4

=

5

16

．…（5分）
（Ⅱ）解：依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，
则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件．
记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，
而且P（B）=

1

4

，P（C）=

1

2

．
设5月13日抵达灾区的队伍数为ξ，则ξ=0、1、2、3、4．…（6分）
由已知有：P（ξ=0）=

C

0 3

×(1-

1

2

)3×

3

4

=

3

32

，…（7分）
P（ξ=1）=

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2

+C

0 3

×(1-

1

2

)3×

1

4

=

5

16

，…（8分）
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

2

)2(1-

1

2

)×

3

4

+

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2×

1

4

=

3

8

，…（9分）
P（ξ=3）=

C

3 3

×(

1

2

)3×

3

4

+

C

2 3

×(

1

2

)2+(1-

1

2

)×

1

4

=

3

16

，…（10分）
P（ξ=4）=

C

3 3

×(

1

2

)3×

1

4

=

1

32

．…（10分）
因此其概率分布为：

ξ	0	1	2	3	4
P	3 32	5 16	3 8	3 16	1 32

…（11分）
所以在5月13日抵达灾区的队伍数ξ的数学期望为：
Eξ=0×

3

32

+1×

5

16

+2×

3

8

+3×

3

16

+4×

1

32

=

7

4

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期的求法，解题时要认真审题，注意相互独立事件的概率乘法公式的合理运用．