Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）当点A在平面PBD内的射影G恰好是△PBD的重心时，求二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：第（1）问，要证平面PBD⊥平面PAC，只需证平面PBD经过平面PAC的一条垂线，观察可看出应选直线BD作为平面PAC的垂线，由PA垂直于底面可得PA垂直于BD，再根据底面ABCD中已知条件借助三角形全等可证AC垂直AC，则第一问可证；
第（2）问，先确定P点位置，利用几何法不容易分析，因此考虑建立空间直角坐标系，将之转化为坐标计算问题，通过解方程求出P点坐标，然后再利用向量法求二面角的大小．

解答： 解：（Ⅰ）依题意Rt△ABC≌Rt△AD，∠BAC=∠DAC，△ABO≌△ADO，
∴AC⊥BD．
而PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，又PA∩AC=A，所以BD⊥面PAC，
又BD?面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示坐标系，
则B(

3

2

，

1

2

，0)，D（0，1，0），C(

3

，1，0)，设P（0，0，λ），
所以G(

3

6

，

1

6

，

λ

3

)，

PB

=(

3

2

，-

1

2

，-λ)，
由AG⊥PB得，

AG

•

PB

=(

3

6

，

1

6

，

λ

3

)•(

3

2

，-

1

2

，-λ)=0，
解得λ2=

1

2

，所以λ=

2

2

．
∴P点坐标为(0，0，

2

2

)，
面PBD的一个法向量为

m

=6

AG

=(

3

，1，

2

)，
设面PCD的一个法向量为

n

=(x，y，z)，

CD

=(-

3

，0，0)，

PD

=(0，1，-

2

2

)
∴

n • PD =0 n • CD =0

即

2 y-z=0 - 3 x=0

，∴

n

=(0，1，

2

)，
cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

(0，1， 2 )•( 3 ，1， 2 )

3 • 6

=

2

2

，
所以二面角B-PD-C的余弦值为

2

2

．

点评：当二面角的平面角不好找或者不好求时，可以采用向量法，一般是先求出两个半平面的法向量，然后将二面角的大小转化为它们法向量之间的夹角，要注意结合图形判断二面角是钝角或是锐角，从而确定最终的结果．