Question

已知正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′棱的中点．求平面BEC′与平面ABCD所成的角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：以D为原点，分别以DA、DC、DD′为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面BEC′与平面ABCD所成的角的余弦值．

解答： 解：以D为原点，分别以DA、DC、DD′为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则B（2，2，0），E（2，0，1），C‘（0，2，2），
∴

BE

=(0，-2，1)，

BC′

=(-2，0，2)，
设平面BEC′的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • BE =-2y+z=0 n • BC′ =-2x+2z=0

，
取x=1，得

n

=(2，1，2)，
由题意知平面ABCD的法向量

m

=(0，0，1)，
设平面BEC′与平面ABCD所成的角的平面角为θ，
则cosθ=cos＜

m

，

n

＞=

2

4+1+4

=

2

3

．
∴平面BEC′与平面ABCD所成的角的余弦值为

2

3

．

点评：本题考查平面与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．