Question

设f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）当a=4时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（2）如果对任意x₁，x₂∈[0，2]都有g（x₁）-g（x₂）≤M成立，求满足上述条件的最小整数M．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，切点和切线的斜率，应用点斜式方程写出切线方程；
（2）首先将不等式转化为[g（x₁）-g（x₂）]_max≤M，然后求出g（x）的导数，求出单调区间和极值，最值，得到M的不等式，求出最小整数．

解答： 解：（1）当a=4时，f（x）=

4

x

+xln x，
f′（x）=-

4

x2

+ln x+1，
∴f（1）=4，f′（1）=-3，
∴y-4=-3（x-1）．
故曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为3x+y-7=0；
（2）对任意x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≤M成立，
等价于：[g（x₁）-g（x₂）]_max≤M，
g（x）=x³-x²-3，g′（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

），

x	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2
g′（x）		-	0	+
g（x）	-3	递减	极（最）小值- 85 27	递增	1

由上表可知：g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1，
[g（x₁）-g（x₂）]_max=g（x）_max-g（x）_min=

112

27

，即M≥

112

27

，
∴满足条件的最小整数M=5．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程、求单调区间和极值、最值，同时考查转化思想，是一道中档题．