Question

4．如图，已知⊙C：x²+（y-2）²=1，点M在x轴正半轴上，过点M作⊙C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）若点M的坐标为（2，0），求$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的值；
（2）若|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）连结AC，BC，MC，由点C，M的坐标求得|CM|=2$\sqrt{2}$．又|CA|=1，由勾股定理求得|AM|．设∠AMC=θ，求得sin θ=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，利用二倍角的余弦得cos 2θ，代入数量积公式求得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$；
（2）设点M（m，0）（m＞0），则|CM|=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，求出|AM|．设AB与CM相交于D，则D为AB的中点，且AD⊥CM．由射影定理列式求得m，则点M的坐标可求．

解答 解：（1）连结AC，BC，MC，则AC⊥AM，BC⊥BM，△AMC≌△BMC．
∵点C（0，2），M（2，0），∴|CM|=2$\sqrt{2}$．
又|CA|=1，∴|AM|=$\sqrt{|CM{|}^{2}-|CA{|}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
设∠AMC=θ，则sin θ=$\frac{|CA|}{|CM|}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，cos2θ=1-2sin²θ=$\frac{3}{4}$，
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=|$\overrightarrow{MA}$||$\overrightarrow{MB}$|cos2θ=7×$\frac{3}{4}$=$\frac{21}{4}$；
（2）设点M（m，0）（m＞0），则|CM|=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
|AM|=$\sqrt{|CM{|}^{2}-|CA{|}^{2}}=\sqrt{{m}^{2}+3}$．
设AB与CM相交于D，则D为AB的中点，且AD⊥CM．
∴|CM|×|AD|=|CA|×|AM|，即$\sqrt{{m}^{2}+4}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=1×$\sqrt{{m}^{2}+3}$．
则8（m²+4）=9（m²+3），
∴m²=5，得m=$\sqrt{5}$，
∴点M的坐标为（$\sqrt{5}$，0）．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查平面向量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．