Question

19．已知f（x）=x²-ax+4．
（1）若f（x）≥0在[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，求a的取值范围；
（2）若方程f（x）=3在[$\frac{1}{2}$，4]上有两个解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≥0在[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，得到a≤x+$\frac{4}{x}$在[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，利用基本不等式求出右边的最小值，即可求a的取值范围；
（2）f（x）=3，a=x+$\frac{1}{x}$，结合基本不等式，利用方程f（x）=3在[$\frac{1}{2}$，4]上有两个解，求a的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）≥0在[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，得到a≤x+$\frac{4}{x}$在[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，
∵x+$\frac{4}{x}$≥4，当且仅当x=2时取等号，
∴a≤4；
（2）f（x）=3，∴a=x+$\frac{1}{x}$，
由g（x）=x+$\frac{1}{x}$，在[$\frac{1}{2}$，1）上单调递减，（1，4]上单调递增，g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$，g（4）=$\frac{17}{4}$，g（1）=2，$\frac{17}{4}＞\frac{5}{2}$，
∴方程f（x）=3在[$\frac{1}{2}$，4]上有两个解，a的取值范围是（2，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题考查恒成立问题，考查基本不等式的运用，正确转化是关键．