Question

18．已知函数f（x）=sinωx+λcosωx，其图象的一个对称中心到最近的一条对称轴的距离为$\frac{π}{4}$，且在x=$\frac{π}{12}$处取得最大值．
（1）求λ的值．
（2）设$g（x）=af（x）+cos（4x-\frac{π}{3}）$在区间$（\frac{π}{4}，\frac{π}{3}）$上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）为正弦型函数，利用函数的周期和最值求出ω、λ的值；
（2）由f（x）写出g（x）的解析式，利用换元法和复合函数的单调性，即可求出a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=sinωx+λcosωx=$\sqrt{1+{λ}^{2}}$sin（ωx+φ），其中tanφ=λ；
由题可得$\frac{π}{4}$=$\frac{T}{4}$，
∴T=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2，
∵x=$\frac{π}{12}$处取得最大值，
∴$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴λ=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$；
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴$g（x）=af（x）+cos（4x-\frac{π}{3}）$=2asin（2x+$\frac{π}{3}$）+cos（4x-$\frac{π}{3}$）
=2asin（2x+$\frac{π}{3}$）+2cos²（2x-$\frac{π}{6}$）-1
=2asin（2x+$\frac{π}{3}$）+2sin²（2x+$\frac{π}{3}$）-1；
设t=sin（2x+$\frac{π}{3}$），其中x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$），
∴2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{5π}{6}$，π），
0＜sin（2x+$\frac{π}{3}$）＜$\frac{1}{2}$，
函数t=sin（2x+$\frac{π}{3}$）是单调减函数，且0＜t＜$\frac{1}{2}$；
∴函数g（t）=2t²+2at-1，在对称轴t=-$\frac{a}{2}$的左侧单调递减，
令-$\frac{a}{2}$≥$\frac{1}{2}$，解得a≤-1，
∴a的取值范围是a≤-1．

点评 本题考查了三角函数的化简与应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．